مقایسه روشهای انتگرالگیری عددی در تحلیل همهندسه محمد قاسم جوادی 1 بهروز حسنی 2

مقایسه روشهای انتگرالگیری عددی در تحلیل همهندسه محمد قاسم جوادی 1 بهروز حسنی 2 1- دانشجوی کارشناسی ارشد مهندسی هوافضا گرایش سازه دانشگاه فردوسی مشهد 2- استاد گروه مکانیک دانشکده مهندسی دانشگاه فردوسی مشهد javadqm8@gmal.cm روش همهندسه 3 خالصه دارای ویژگیهای منحصر به فرد و مناسبی است که درآیندهای نه چندان دور می تواند جایگزین روشهای عددی متداولی نظیر اجزای محدود گردد. ایدهی اصلی این روش بر اساس استفاده از همان مدل هندسی به عنوان مدل محاسباتی برای تحلیل مسائل استوار است. با ابداع برای تولید هندسه استفاده این روش فرایندهای طراحی و تحلیل توانستند در یکدیگر ادغام شوند. از آنجا که در طراحی های رایانهای از تکنیک نربز 4 در روش همهندسه نیز از توابع پایه نربز بجای توابع شکل چند جملهای مرسوم در اجزای محدود استفاده میشود با توجه به مفهوم ایزوپارامتریک میشود. از سوی دیگر در فرمولبندی روش های تحلیل سازه نیاز به حل عددی انتگرال هایی است که ماتریس سختی و بردار بارگذاری را تشکیل میدهند. دراین پژوهش نتایج روش های انتگرالگیری عددی گوس و سیمپسون در حل یک معادله دیفرانسیل ساده با حالت های مختلف وزندهی به نقاط کنترلی مقایسه شدهاند. کلمات کلیدی: تحلیل هم هندسه بی اسپالین نربز روش گوس روش سیمپسون 1. مقدمه مسایل پیش روی مهندسین اغلب دارای شکل دیفرانسیلی است که تعداد محدودی از این معادالت را می توان به صورت تحلیلی حل نمود. تاکنون برای حل معادالت دیفرانسیل روشهای عددی متعددی معرفی شده است که در حوزه مکانیک محاسباتی در مورد آنها بحث می شود. این روشها به ترتیب شکل گیری شامل روشهای تفاضل محدود 6 اجزای محدود 7 اجزای مرزی 8 و روشهای بدون شبکه می باشند ]7[. حوزه استفاده از این روشها بسیار متنوع بوده و می توان از آنها در مسائلی مانند مکانیک جامدات مکانیک سیاالت انتشار امواج الکتریسیته انتقال حرارت و غیره استفاده و اقدام به مدلسازی وحل معادالت حاکم بر این مسائل نمود. در میان روشهای مذکور روش اجزای محدود با قدمتی نزدیک به 06 سال از شناخته شده ترین روشهای عددی می باشد که بنیان بسیاری از نرم افزارهای محاسباتی کنونی را در زمینه های علمی مختلف تشکیل می دهد. این روش در سالهای 7396 تا 7306 شکل گرفت و همزمان با رشد علم رایانه در زمینه سخت افزار و نرم افزار برنامه های اکادمیک و تجاری زیادی بر مبنای آن تهیه گردید. شاید بتوان گفت در این دوره مهندسی هوافضا بیشترین نقش را در پیشرفت این روش ایفا نمود ]2[. روش اجزا محدود محدودیت هایی نظیر نیاز این روش به شبکهای از المانها و گرهها دارد. تا به امروز این مسئله یکی از جدی ترین مشکالت این روش می باشد. حداقل ایراد تولید شبکه مدت زمانی است که برای انجام آن صرف می شود که به طور میانگین حدود 16 درصد زمان حل مسئله را به خود اختصاص می دهد ]1[. تقریبا یک دهه پس از ایجاد روش اجزامحدود و 9 انجام گردید. با توجه به اینکه تحلیل بر مبنای هندسه بین سالهای 7316 تا 7316 پیشرفتهای چشمگیری در علم مدلسازی هندسه و یا طراحی رایانه ای 3 Isgemetrc 4 URBS(n Unfrm Ratnal B-Slne) Isarametrc 6 FDM ( Fnte Dfference Methd) 7 FEM ( Fnte Element Methd) 8 BEM(Bundary Element Methd) 9 Cmuter Aded Desgn (CAD) 7 دانشجوی کارشناسي ارشد مهندسي هوافضا گرايش سازه 2 استاد

که یکی از دانشمندان استوار است استفاده از این پیشرفتها می تواند کمک شایانی به تحلیل در رفع نقاط ضعف آن نماید. به این منظور پرفسور هیوز 1 برجسته در روش اجزا محدود است به همراه همکاران روش تحلیل همهندسه را پیشنهاد نمودند. نام این روش برگرفته از مفهوم ایزوپارامتریک در روش اجزای محدود می باشد. با توجه به دقت باال در مدلسازی هندسه و همچنین استفاده از شرایط یکسان در مدلسازی هندسه و تقریب تابع مجهول نام این روش "تحلیل همهندسه" انتخاب شده است] 4 [.2 منحنی های بی اسپالین و نربز بیاسپالینها متولد میشوند. همین نحوهی بوجود آمدن بیاسپالین 3 ها نقطه قوتی برای ایجاد تغییرات موضعی در واقع از اتصال یک یا چند منحنی بزیر 2 در آنهاست. استفاده کابردی از بیاسپالینها در صنایع مختلف بسیار چشمگیر است. صنایعی مانند خودروسازی فیلم سازی نرمافزارهای رایانهای و غیره از مصرف کنندگان عمده این تکنیک هستند. علل اصلی استفاده از این روش برای مدلسازی در مرجع ]9[ آمده است. یک منحنی بیاسپالین به صورت زیر تعریف می شود. C( u) n 1 P, )7( که در آن P نمایش دهنده مختصات نقطه کنترلی ام n تعداد نقاط کنترلی C(u) مختصات نقطهی روی منحنی بیاسپالین به ازای u و,(u) مقدار تابع پایه بیاسپالین به ازای u را مشخص میکنند. تعریف توابع پایه با رابطهای بازگشتی و به صورت پلکانی از روی توابع درجه پایینتر مطابق رابطه )2( انجام میشود.,0, 1 0 f u u u else u u u u 1, 1 u u 1 u u 1 1, 1 )2( )1( تعریف توابع پایه و رسم منحنی به ایجاد مفهوم دیگری به نام بردار گره برای ضابطهمند کردن فضای پارامتری نیاز است. بردار گرهی به صورت زیر تعریف میشود. U u1, u2,..., u,..., u m بردار گرهی انواع مختلفی دارد که در روش همهندسههه معموال از نوع مقید و یکنواخت هسههتند. یک بردار گرهی باز یا مقید نامیده می شههود اگر 1+ گره در ابتدا و انتهای بردارگره تکرار داشهته باشهد. در این نوع بردار گرهی مقدار m از رابطه m=+n+1 بدسهت میآید. اگر گرهها متسهاوی الفاصهله باشند بردار گره یکنواخت نامیده میشود. )4( از آنجا که مشتق توابع شکل نیز در تشکیل فرمولبندی همهندسه استفاده میشوند مشتق مرتبه kام تابع پایه بیاسپالین به صورت رابطه 4 بدست میآید. ( k) ( k1) ( k1),, 1 1, 1 u u u u 1 1 )9( منحنی های بیاسهپالین مقاطع مخروطی را نمیتوانسهتند دقیق رسهم کنند. از این رو دانشمندان طراحی رایانهای اقدام به معرفی منحنیهای نربز کردند که برای رفع این نقص به صورت کسری و از روی همان توابع پایه بیاسپالینها مطابق رابطه )9( تولید میشوند. که در آن R,(u) مقدار تابع پایه بیاسپالین به ازای u را مشخص میکنند. C( u) n 1 R P, 1 T.J.R. Hughes 2 Bezer 3 Bslne

R, n j1, w, w )0( که w ها وزنی اسهت که به هر نقطه کنترلی نسههبت داده میشههود ]9[. پس تابع پایه نربز را میتوان از روی تابع پایهی بیاسههپالین هم درجه آن و در نظر گرفتن وزن هر نقطه کنترل بدسهت آورد. می توان اابت کرد که اگر وزن نقاط کنترلی یکسهان در نظر گرفته شهود. با توجه به خاصیت مجموع واحد 1 در بیاسپالینها توابع نربز بدست آمده با بیاسپالین متناظرش یکسان است. توابع پایه برای یک مثال رسم می شوند. مشتق توابع پایه نربز نیز از رابطه )0( بدست خواهد آمد.در قسمت نتایج عددی.3 فرمول بندی تحلیل همهندسه از آنجا که معادالت دیفرانسیل مرتبه 2 دارای کاربردهای فراوانی به شرح زیر هستند: انتقال حرارت در میله ها تغییر طول در میله ها جریان حرارت در پره ها جریان لزج بین صفحات موازی کمانش میله های بلند برای فرمولبندی روش همهندسه از صورت کلی اینفرم معادالت در دامنه 0 تا L استفاده میکنیم. d dx dy( x) a cy( x) f ( x) 0 dx )1( از دو روش میتوان به این فرمولبندی دست یافت نخست مطابق همان روشی که در مراجع اجزامحدود انجام میشود ضعیف کردن معادله و کمینه کردن انرژی کرنشی و یافتن فرم جبری معادله مطابق مرجع ]0[ است. دوم استفاده از نتایج فرمولبندی روش اجزامحدود و جایگذاری توابع پایه نربز به جای توابع شکل روش اجزامحدود است. معادله جبری نهایی اجزامحدود مطابق رابطه )1( است. KY f Q )1( که در آن Q از شرایط مرزی بدست آمده و K )ماتریس سختی( از رابطهی )3( بدست میآید. e e e xb d d j e e K a c j dx j, x a dx dx e f xb xa e f dx )3( همچنین f نیز مطابق رابطه )76( بدست میآید ]1[. )76( اکنون اگر به جای ψ های دو معادله )3( و )76( از, استفاده شود فرمولبندی همهندسه بر اساس تابع پایه نربز کامل شده است. نکتهی مهم اینکه بردار حاصل از حل رابطهی )1( مقادیر عرضی متناظر با طول نقاط کنترلی منحنی پاسخ بوده و خودشان الزاما) البته همواره نقاط کنترلی مرزی روی منحنی پاسخ قرار میگیرند.( روی منجنی قرار ندارند بلکه باید منحنی را با توابع پایه و داشتن مختصات طول و عرض نقاط کنترلی در فضای فیزیکی رسم نمود. 1 Parttn f unty

.4 انتگرالگیری عددی پیش از شروع بحث پیرامون روشهای انتگرال گیری باید اشاره کرد که در روش هم هندسه 1 فضا تعریف می شود یکی فضای اندیسی دومی فضای پارامتری و سهوم فضهای فیزیکی اسهت که شهکل نهایی پاسهخ در فضهای فیزیکی رسم می شود. با توجه به اینکه توابع پایه در فضای پارامتری مفهوم پیدا می کنند انتگرال گیری ها نیز باید در فضهای پارامتری انجام شهوند. پس برای نوشهتن مقدار متناسهب با فضای پارامتری توابع پایه نربز در عبارت داخل انتگرال ها باید تغییر متغیری ناشهی از همین نگاشهت از فضای فیزیکی به فضای پارامتری انجام شود که باعث بوجود آمدن یک عامل جدید مطابق رابطه )77( داخل انتگرال ( ژاکوبین تغییر متغیر از فضای فیزیکی به پارامتری( می شود. dx j du )77( در روش همهندسه نیز همانند اجزای محدود برای بدست آوردن ماتریس سختی و بردار بارگذاری نیاز به استفاده از انتگرالگیری است. در روش اجزای محدود انتگرالها معموال با روش گوس محاسههبه می شههوند. در روش همهندسههه نیز اگر از توابع پایهی بیاسههپالین) نربز با وزن یکسههان نقاط کنترلی( اسهتفاده شهود به دلیل ماهیت چند جملهای این توابع می توان از روش گوس استفاده نمود ولی اگر از توابع پایهی نربز استفاده شود) به نقاط کنترلی وزن تعلق گیرد( چون تابع کسهری محسهوب می شهوند نمی توان به راحتی از روش گوس اسهتفاده کرد. بدلیل چند ضهابطهای بودن توابع پایهی بیاسپالین در طول بردارگره برای انتگرالگیری عددی نقاط گوسههی در هر بازهی گرهی که نماینده المان در روش همهندسههه می باشههند در نظر گرفته می شههوند و انتگرالها بر روی این بازههای گرهی به صهورت جداگانه محاسهبه می شهوند ]1[. قاعده کلی در روش گوس لژاندر این اسهت که اسهتفاده از نقطه گوس برای توابع چند جملهای از درجه کوچکتر و یا مسههاوی 1-2 حاصهههل انتگرال را دقیق بدسههت میآورد ] 3 [.برای انتخاب تعداد نقاط گوسهههی مناسهب در صهورتی که از روش پارامتر سهازی خطی برای انتخاب مختصهات طولی نقاط کنترلی استفاده گردد ( نتیجه استفاده از این روش مطابق مرجع ]76[ این اسهت که عنصهر ژاکوبین که در رابطه )77( معرفی شد برابر 7 شده و مطابق شکل )7( ااری در درجه عبارت داخل انتگرال ندارد.( با توجه به اینکه باالترین درجهی موجود در عنصهرهای داخل انتگرال مطابق رابطه )3( 2 ( دو برابر درجه تابع پایه( اسهت بنابراین حداقل تعداد نقاط گوسهی در هر بازه گرهی 2/(1+2) باید باشد. برای مثال اگر توابع پایه از مرتبه 2 باشند حداقل 1 نقطه گوسی برای محاسبه انتگرال مربوط به ماتریس سختی نیاز اسهت. روشهای گام به گام نیز با تبدیل دامنه به بازههای کوچک و یافتن مقادیر تابع داخل انتگرال در نقاط ابتدا و انتها) در ذوزنقهای یا همان سهیمپسون خطی( و یا نقاط ابتدا انتها و میانی) در روش سیمپسون که همان مدل سهمی روش ذوزنقهای است.( اقدام به یافتن حاصل انتگرال میکنند. طبعا کوچک شدن بازه ها حل بهتری را به کاربر میدهند. شکل 1 -ژاکوبین نگاشت از فضای فیزیکی به فضای پارامتری) مقایسه دو روش متساوی الفاصله بودن نقاط کنترل در دامنه و پارامترسازی خطی(. نتایج عددی 1 در حل یک مسههئله مطابق معادله )1( برای بررسههی بهتر روش مناسههب انتگرالگیری در معادالت مرتبه 2 اقدام به نوشههتن برنامه رایانهای در محیط متلب شهده اسهت. حالت 1=L f=-x2 1-=c 1=a را برای صهورت مسهئله و فرضهیات حل درجه 2 گرفتن پاسخ نهایی) =2 ( 9 نقطه کنترلی) n= ( 1 MATLAB

دقت گام محاسبه توابع پایه در فضای پارامتری 60667 در نظر گرفته شده است. از آنجا که در انتگرال های گام به گام پاسخ یکسانی از حالت ذوزنقهای و سهیمپسهون بدسهت میآید روش ذوزنقهای برای مقایسهه با روش گوس انتخاب شهد. با سهه سهناریو برای وزندهی به نقاط کنترلی مفروض روش های انتگرالگیری گوس و ذوزنقه ای مقایسهه شهده اند. در هر سهناریو یکی از 29 تابعی که برای محاسهبه ماتریس سهختی انتگرالگیری میشود 9 تابعی که بردار بارگذاری را شهکل میدهند و نتیجه انتگرال گوس و روش ذوزنقهای در مقایسهه با حل دقیق نمایش داده شهده اند. در سهناریوی نخسهت وزن همه نقاط کنترلی یکسان و برابر ( 7 [1;1;1;1;1]=w ) در نظر گرفته شده است. شکلهای )2( تا )4( نتایج این وزندهی را نشان داده اند. شکل 2- توابعی که در محاسبهی ماتریس سختی باید انتگرال گیری شود. )درحالت مساوی بودن وزن همه نقاط کنترلی( شکل 3- توابعی که در محاسبهی بردار بارگذاری باید انتگرال گیری شود درحالت مساوی بودن وزن نقاط کنترلی( شکل 4 - مقایسه دقت نتیجه حاصل از محاسبه با روشهای گوسی و ذوزنقهای درحالت مساوی بودن وزن نقاط کنترلی

در سناریوی دوم وزن نقاط کنترلی در دامنه به صورت متقارن ولی با تغییرات نسبتا زیاد نسبت به هم)شدت کسری بودن توابع پایه افزایش یافته است.( انتخاب گشت ( [2;.;1;.;2]=w ) شکلهای )9( تا )1( نتایج این وزندهی را نشان داده اند. شکل - توابعی که در محاسبهی ماتریس سختی باید انتگرال گیری شود. درحالت وزندهی متقارن نقاط کنترلی شکل 6- توابعی که در محاسبهی بردار بارگذاری باید انتگرال گیری شود. درحالت وزندهی متقارن نقاط کنترلی شکل 7 - مقایسه دقت نتیجه حاصل از محاسبه با روشهای گوسی و ذوزنقهای درحالت وزندهی متقارن نقاط کنترلی

در سناریوی سوم وزن نقاط کنترلی در دامنه به طور نامتقارن ولی نسبت به حالت )ب( نزدیکتر به هم)شدت کسری بودن توابع پایه کاهش یافته است.( در نظر گرفته شده است) [2;1;1;.;2]=w (. شکلهای )1( تا )76( نیز نتایج این وزندهی را نشان داده اند. شکل 8- توابعی که در محاسبهی ماتریس سختی باید انتگرال گیری شود. درحالت وزندهی نامتقارن نقاط کنترلی شکل 9- توابعی که در محاسبهی بردار بارگذاری باید انتگرال گیری شود. درحالت وزندهی نامتقارن نقاط کنترلی شکل 11- مقایسه دقت نتیجه حاصل از محاسبه با روشهای گوسی و ذوزنقهای درحالت وزندهی نامتقارن نقاط کنترلی

.6 نتیجهگیری هشتمین کنگره مل ي مهندسي عمران دانشکده مهندسي عمران بابل علیرغم اینکه از نظر هزینه محاسبات روش گوس گزینهی مناسبی است اما همان طور که از قبل پیش بینی می شد ماهیت کسری توابع نربز امکان حل دقیق انتگرالها با روش گوس را در روش همهندسه نمی دهند. هر چه وزن نقاط کنترلی نربز در یک هندسه به هم نزدیکتر باشند تابع پایه نربز به بیاسپالین متناظرش نزدیکتر شده و از کسری بودن به سوی چند جملهای میل میکند. بنابراین در این حالت اعمال روش گوس از نظر دقت پاسخ مناسبی خواهد داد. درجه تابع پایه تعداد نقاط کنترلی و ژاکوبین نگاشت از فضای فیزیکی به فضای پارامتری بر نتیجه روش گوس اارگذار هستند. افزایش درجه از یک سو باعث کاهش بازههای انتگرال می شود ولی از سوی دیگر تعداد نقاط گوسی مورد نیاز را نیز افزایش میدهد. افزایش نقاط کنترلی نیز افزایش بازههای انتگرالگیری را به همراه دارد. اار ژاکوبین نیز در صورت استفاده از پارامتر سازی خطی کاهش مییابد ولی در صورت وزندار بودن نقاط حذف اار آن دشوار میگردد از سوی دیگر برای رسم نربزها از طریق توابع پایه نیاز به داشتن مقدار توابع پایه نربز در گامهای کوچک وجود دارد پس اگر روشهای گام به گام)ذوزنقه ای و سیمپسون( برگزیده شوند با بدست آوردن مقدار توابع پایه در تمام دامنه پارامتری در گامهای کوچک برای نمایش منحنی پاسخ نهایی نیز می توان از همان داده ها استفاده نمود. عوامل موار بر نتیجه روش ذوزنقهای را میتوان ژاکوبین نگاشت)مثل روش گوس( و گام محاسبه توابع پایه دانست. با این همه همانطور که در نمودار ها مشاهده میشود روش ذوزنقهای پاسخ را بهتر دنبال میکند. به طور خاص می توان روش ذوزنقه ای را برای مسایلی که وزن نقاط کنترلی با هم اختالف زیاد دارند با اطمینان توصیه کرد. از نظر زمان مصرفی نیز انتگرالگیری ذوزنقهای اختالف فاحشی نسبت به روش گوس نداشت..7 مراجع 1. Cttrell J.A., Hughes T.G.R., and Bazlevs Y, Isgemetrc analyss: tward ntegratn f CAD and FEA, Wley, Chchester, 2009. 2. ظریف مقدم ناصر 7136. توسعه روش ایزوژئومتریک در مدلسازی تحلیل و بهینه سازی مسائل تنش/کرنش مسطح و تقارن محوری با مواد مرکب تابعی رساله دکتری دانشگاه صنعتی شاهرود گروه عمران. 3. Cttrell J.A., Bazlevs Y., and Hughes T.G.R., Isgemetrc analyss: CAD, fnte elements, URBS, exact gemetry and mesh refnement. Cmut. Methds Al Mech. Engrg, v. 194, 200,. 413-419. 4. توکلی سید مهدی 7111. آنالیز و بهینه سازی توپولوژی ایزوژئومتریک سازه ها در محیطهای پیوسته با استفاده از توابع پایه نربز رساله دکتری دانشگاه علم و صنعت ایران گروه عمران.. Pegl L., and Tller W., The URBS bk.2nd ed,0srnger-verlag, ew Yrk, 1997 0. حسنی بهروز. و ظریف مقدم ن )7111( طرح پژوهشی "ابداع یک روش جدید عددی برای حل معادالت دیفرانسیل معمولی با استفاده از توابع پایه اسپالین فرمول بندی و تهیه برنامه" گزارش تخصصی شماره 7963 دانشکده مهندسی عمران دانشگاه صنعتی شاهرود ایران 7. Reddy J.., An ntrductn t the fnte element methd 03nd ed., McGraw- Hll, 2006. 1. حسن زاده طاهری علیرضا 7136. تحلیل ارتعاشات آزاد مسائل مرکب تابعی با استفاده از روش آیزوژئومتریک رساله کارشناسی ارشد دانشگاه فردوسی مشهد گروه مکانیک..3 متیوز جان ترجمه فائزه توتونیان 7111 روشهای محاسبات عددی برای ریاضیات علوم و مهندسی انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد چاپ پنجم. 10. Cttrell J.A., Real A., Bazlevs Y., and Hughes T.G.R., Isgemetrc analyss f structural vbratn. Cmut. Methds Al Mech. Engrg, v. 19, 2006,. 27-296.

qq,!a t$l { {:: - f.. $ a - B., $ t..r- 't r {r.l r- ) t a b.t :.t l '. r_9 _ ' '. -. a$._ L ' l..j - : a. _ q '{ I :' ' '&.... )..,) s.3j '. ' a r a ) c $ _ a. J ] 'tr.e r-'{) E"t l FrX r ETO kru.:..e r 'Eb t* 0; >> >t 6.9 E a